प्राकृतिक ल्याः

प्राकृतिक कथं ल्या खायेत छ्येलिगु आखःयात प्राकृतिक ल्याः धाइ।

साधारण वा प्राकृतिक ल्याः रञ्जना लिपिइ

दक्वं प्राकृतिक ल्याःया पुचः वा सेटया चिं N बाय् $\mathbb {N}$ ख।। पुलांगु ग्रन्थय् व सफूलि गबलें गबलें थ्व सेटया चिंया रुपय् J छ्येलातःगु दु।

प्राकृतिक ल्याखय् ० दयेफु बाय् मदयेफु। थ्व प्रायः सन्दर्भं निर्दिष्ट जुइ, तर थुकिया चिंयात सबस्क्रिप्ट वा सुपरस्क्रिप्ट छ्येला नं ब्वयेछिं, गथेकि:

• ० मदूगु प्राकृतिक ल्या: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}$
• ० दूगु प्राकृतिक ल्या: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

बैकल्पिककथं, प्राकृतिक ल्याखं प्राकृतिककथं पूर्णाङ्क (चिं denoted $\mathbb {Z}$))या छगू कचापुचः दयेकीगुलिं प्राकृतिक ल्यायात झ्वलं सकारात्मक वा गैर-ऋणात्मक पूर्णाङ्क धका परिभाषित यायेछिं। ० दुथ्याःगु दु कि मदु धइगु खँय् स्पष्ट जुइत, गुबलें गुबलें छगू सुपरस्क्रिप्ट "$*$" बाय् "+" ० मदुथ्याःगु पुचलय् तनेगु याइ धाःसा ० दुथ्याःगु पुचलय् छगू सबस्क्रिप्ट (वा सुपरस्क्रिप्ट) "०" तनेगु याइ:

$\{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0}$

$\{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}$

गुण

प्राकृतिक ल्याःया गुण थथे दु-

• तनेज्या

छगू सेट $\mathbb {N}$ प्राकृतिक ल्याः व इमिगु उत्तराधिकारी ज्या (successor function) $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ छ्येला सकल प्राकृतिक ल्याःतेत मेगु प्राकृतिक ल्याखनय् हिलेत प्राकृतिक ल्याःतेगु तनेज्यायात रिकर्सिभकथं (recursively) सकल a, bयात थथे सेट यायेछिं a + 0 = a and a + S(b) = S(a + b)। अतः, a + 1 = a + S(0) = S(a+0) = S(a), a + 2 = a + S(1) = S(a+1) = S(S(a)), आदि। बीजगणितीय संरचना (algebraic structure) $(\mathbb {N} ,+)$ छगू कम्युतेतिभ मोनोइद (commutative monoid) ख गुकिया आइदेन्तिति एलेमेन्त (identity element)]] 0 ख। थ्व छगू जेनेरेतर दूगु फ्रि मोनोइद ख। थ्व कम्युतेतिभ मोनोइदं क्यान्सेलेसन गुण (cancellation property) नाप समन्जस्य दु। अतः, इमित छगू पुचलय् दुथ्यायेछिं। प्राकृतिक ल्याः दूगु दकलय् चिधंगु पुचः पूर्णाङ्क (integer) ख।

यदि १ यात S(0)य् परिभाषित याःसा b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b)। अतः, b + 1 सरल रुपय् bया उत्तराधिकारी जुइ।

• गुणनज्या
• तनेज्या व गुणनज्याया स्वापू
• अर्दर
• बायेज्या
• प्राकृतिक ल्याखं पूवंकीगु बीजगणितीय गुण

स्वयादिसँ

• ल्याः